Italian

• English

Warning

In caso di dubbi sulla correttezza del contenuto di questa traduzione, l’unico riferimento valido è la documentazione ufficiale in inglese. Per maggiori informazioni consultate le avvertenze.

Validatore di sincronizzazione durante l’esecuzione

Classi di blocchi

L’oggetto su cui il validatore lavora è una “classe” di blocchi.

Una classe di blocchi è un gruppo di blocchi che seguono le stesse regole di sincronizzazione, anche quando i blocchi potrebbero avere più istanze (anche decine di migliaia). Per esempio un blocco nella struttura inode è una classe, mentre ogni inode sarà un’istanza di questa classe di blocco.

Il validatore traccia lo “stato d’uso” di una classe di blocchi e le sue dipendenze con altre classi. L’uso di un blocco indica come quel blocco viene usato rispetto al suo contesto d’interruzione, mentre le dipendenze di un blocco possono essere interpretate come il loro ordine; per esempio L1 -> L2 suggerisce che un processo cerca di acquisire L2 mentre già trattiene L1. Dal punto di vista di lockdep, i due blocchi (L1 ed L2) non sono per forza correlati: quella dipendenza indica solamente l’ordine in cui sono successe le cose. Il validatore verifica permanentemente la correttezza dell’uso dei blocchi e delle loro dipendenze, altrimenti ritornerà un errore.

Il comportamento di una classe di blocchi viene costruito dall’insieme delle sue istanze. Una classe di blocco viene registrata alla creazione della sua prima istanza, mentre tutte le successive istanze verranno mappate; dunque, il loro uso e le loro dipendenze contribuiranno a costruire quello della classe. Una classe di blocco non sparisce quando sparisce una sua istanza, ma può essere rimossa quando il suo spazio in memoria viene reclamato. Per esempio, questo succede quando si rimuove un modulo, o quando una workqueue viene eliminata.

Stato

Il validatore traccia l’uso cronologico delle classi di blocchi e ne divide l’uso in categorie (4 USI * n STATI + 1).

I quattro USI possono essere:

• ‘sempre trattenuto nel contesto <STATO>’

• ‘sempre trattenuto come blocco di lettura nel contesto <STATO>’

• ‘sempre trattenuto con <STATO> abilitato’

• ‘sempre trattenuto come blocco di lettura con <STATO> abilitato’

gli n STATI sono codificati in kernel/locking/lockdep_states.h, ad oggi includono:

• hardirq

• softirq

infine l’ultima categoria è:

• ‘sempre trattenuto’ [ == !unused ]

Quando vengono violate le regole di sincronizzazione, questi bit di utilizzo vengono presentati nei messaggi di errore di sincronizzazione, fra parentesi graffe, per un totale di 2 * n (n: bit STATO). Un esempio inventato:

modprobe/2287 is trying to acquire lock:
 (&sio_locks[i].lock){-.-.}, at: [<c02867fd>] mutex_lock+0x21/0x24

but task is already holding lock:
 (&sio_locks[i].lock){-.-.}, at: [<c02867fd>] mutex_lock+0x21/0x24

Per un dato blocco, da sinistra verso destra, la posizione del bit indica l’uso del blocco e di un eventuale blocco di lettura, per ognuno degli n STATI elencati precedentemente. Il carattere mostrato per ogni bit indica:

‘.’	acquisito con interruzioni disabilitate fuori da un contesto d’interruzione
‘-’	acquisito in contesto d’interruzione
‘+’	acquisito con interruzioni abilitate
‘?’	acquisito in contesto d’interruzione con interruzioni abilitate

Il seguente esempio mostra i bit:

(&sio_locks[i].lock){-.-.}, at: [<c02867fd>] mutex_lock+0x21/0x24
                     ||||
                     ||| \-> softirq disabilitati e fuori da un contesto di softirq
                     || \--> acquisito in un contesto di softirq
                     | \---> hardirq disabilitati e fuori da un contesto di hardirq
                      \----> acquisito in un contesto di hardirq

Per un dato STATO, che il blocco sia mai stato acquisito in quel contesto di STATO, o che lo STATO sia abilitato, ci lascia coi quattro possibili scenari mostrati nella seguente tabella. Il carattere associato al bit indica con esattezza in quale scenario ci si trova al momento del rapporto.

	irq abilitati	irq disabilitati
sempre in irq	‘?’	‘-’
mai in irq	‘+’	‘.’

Il carattere ‘-’ suggerisce che le interruzioni sono disabilitate perché altrimenti verrebbe mostrato il carattere ‘?’. Una deduzione simile può essere fatta anche per ‘+’

I blocchi inutilizzati (ad esempio i mutex) non possono essere fra le cause di un errore.

Regole dello stato per un blocco singolo

Avere un blocco sicuro in interruzioni (irq-safe) significa che è sempre stato usato in un contesto d’interruzione, mentre un blocco insicuro in interruzioni (irq-unsafe) significa che è sempre stato acquisito con le interruzioni abilitate.

Una classe softirq insicura è automaticamente insicura anche per hardirq. I seguenti stati sono mutualmente esclusivi: solo una può essere vero quando viene usata una classe di blocco:

<hardirq-safe> o <hardirq-unsafe>
<softirq-safe> o <softirq-unsafe>

Questo perché se un blocco può essere usato in un contesto di interruzioni (sicuro in interruzioni), allora non può mai essere acquisito con le interruzioni abilitate (insicuro in interruzioni). Altrimenti potrebbe verificarsi uno stallo. Per esempio, questo blocco viene acquisito, ma prima di essere rilasciato il contesto d’esecuzione viene interrotto nuovamente, e quindi si tenterà di acquisirlo nuovamente. Questo porterà ad uno stallo, in particolare uno stallo ricorsivo.

Il validatore rileva e riporta gli usi di blocchi che violano queste regole per blocchi singoli.

Regole per le dipendenze di blocchi multipli

La stessa classe di blocco non deve essere acquisita due volte, questo perché potrebbe portare ad uno blocco ricorsivo e dunque ad uno stallo.

Inoltre, due blocchi non possono essere trattenuti in ordine inverso:

<L1> -> <L2>
<L2> -> <L1>

perché porterebbe ad uno stallo - chiamato stallo da blocco inverso - in cui si cerca di trattenere i due blocchi in un ciclo in cui entrambe i contesti aspettano per sempre che l’altro termini. Il validatore è in grado di trovare queste dipendenze cicliche di qualsiasi complessità, ovvero nel mezzo ci potrebbero essere altre sequenze di blocchi. Il validatore troverà se questi blocchi possono essere acquisiti circolarmente.

In aggiunta, le seguenti sequenze di blocco nei contesti indicati non sono permesse, indipendentemente da quale che sia la classe di blocco:

<hardirq-safe>   ->  <hardirq-unsafe>
<softirq-safe>   ->  <softirq-unsafe>

La prima regola deriva dal fatto che un blocco sicuro in interruzioni può essere trattenuto in un contesto d’interruzione che, per definizione, ha la possibilità di interrompere un blocco insicuro in interruzioni; questo porterebbe ad uno stallo da blocco inverso. La seconda, analogamente, ci dice che un blocco sicuro in interruzioni software potrebbe essere trattenuto in un contesto di interruzione software, dunque potrebbe interrompere un blocco insicuro in interruzioni software.

Le suddette regole vengono applicate per qualsiasi sequenza di blocchi: quando si acquisiscono nuovi blocchi, il validatore verifica se vi è una violazione delle regole fra il nuovo blocco e quelli già trattenuti.

Quando una classe di blocco cambia stato, applicheremo le seguenti regole:

• se viene trovato un nuovo blocco sicuro in interruzioni, verificheremo se abbia mai trattenuto dei blocchi insicuri in interruzioni.

• se viene trovato un nuovo blocco sicuro in interruzioni software, verificheremo se abbia trattenuto dei blocchi insicuri in interruzioni software.

• se viene trovato un nuovo blocco insicuro in interruzioni, verificheremo se abbia trattenuto dei blocchi sicuri in interruzioni.

• se viene trovato un nuovo blocco insicuro in interruzioni software, verificheremo se abbia trattenuto dei blocchi sicuri in interruzioni software.

(Di nuovo, questi controlli vengono fatti perché un contesto d’interruzione potrebbe interrompere l’esecuzione di qualsiasi blocco insicuro portando ad uno stallo; questo anche se lo stallo non si verifica in pratica)

Eccezione: dipendenze annidate sui dati portano a blocchi annidati

Ci sono alcuni casi in cui il kernel Linux acquisisce più volte la stessa istanza di una classe di blocco. Solitamente, questo succede quando esiste una gerarchia fra oggetti dello stesso tipo. In questi casi viene ereditato implicitamente l’ordine fra i due oggetti (definito dalle proprietà di questa gerarchia), ed il kernel tratterrà i blocchi in questo ordine prefissato per ognuno degli oggetti.

Un esempio di questa gerarchia di oggetti che producono “blocchi annidati” sono i block-dev che rappresentano l’intero disco e quelli che rappresentano una sua partizione; la partizione è una parte del disco intero, e l’ordine dei blocchi sarà corretto fintantoche uno acquisisce il blocco del disco intero e poi quello della partizione. Il validatore non rileva automaticamente questo ordine implicito, perché queste regole di sincronizzazione non sono statiche.

Per istruire il validatore riguardo a questo uso corretto dei blocchi sono stati introdotte nuove primitive per specificare i “livelli di annidamento”. Per esempio, per i blocchi a mutua esclusione dei block-dev si avrebbe una chiamata simile a:

enum bdev_bd_mutex_lock_class
{
     BD_MUTEX_NORMAL,
     BD_MUTEX_WHOLE,
     BD_MUTEX_PARTITION
};

mutex_lock_nested(&bdev->bd_contains->bd_mutex, BD_MUTEX_PARTITION);

In questo caso la sincronizzazione viene fatta su un block-dev sapendo che si tratta di una partizione.

Ai fini della validazione, il validatore lo considererà con una - sotto - classe di blocco separata.

Nota: Prestate estrema attenzione che la vostra gerarchia sia corretta quando si vogliono usare le primitive _nested(); altrimenti potreste avere sia falsi positivi che falsi negativi.

Annotazioni

Si possono utilizzare due costrutti per verificare ed annotare se certi blocchi devono essere trattenuti: lockdep_assert_held*(&lock) e lockdep_*pin_lock(&lock).

Come suggerito dal nome, la famiglia di macro lockdep_assert_held* asseriscono che un dato blocco in un dato momento deve essere trattenuto (altrimenti, verrà generato un WARN()). Queste vengono usate abbondantemente nel kernel, per esempio in kernel/sched/core.c:

void update_rq_clock(struct rq *rq)
{
      s64 delta;

      lockdep_assert_held(&rq->lock);
      [...]
}

dove aver trattenuto rq->lock è necessario per aggiornare in sicurezza il clock rq.

L’altra famiglia di macro è lockdep_*pin_lock(), che a dire il vero viene usata solo per rq->lock ATM. Se per caso un blocco non viene trattenuto, queste genereranno un WARN(). Questo si rivela particolarmente utile quando si deve verificare la correttezza di codice con callback, dove livelli superiori potrebbero assumere che un blocco rimanga trattenuto, ma livelli inferiori potrebbero invece pensare che il blocco possa essere rilasciato e poi riacquisito (involontariamente si apre una sezione critica). lockdep_pin_lock() restituisce ‘struct pin_cookie’ che viene usato da lockdep_unpin_lock() per verificare che nessuno abbia manomesso il blocco. Per esempio in kernel/sched/sched.h abbiamo:

static inline void rq_pin_lock(struct rq *rq, struct rq_flags *rf)
{
      rf->cookie = lockdep_pin_lock(&rq->lock);
      [...]
}

static inline void rq_unpin_lock(struct rq *rq, struct rq_flags *rf)
{
      [...]
      lockdep_unpin_lock(&rq->lock, rf->cookie);
}

I commenti riguardo alla sincronizzazione possano fornire informazioni utili, tuttavia sono le verifiche in esecuzione effettuate da queste macro ad essere vitali per scovare problemi di sincronizzazione, ed inoltre forniscono lo stesso livello di informazioni quando si ispeziona il codice. Nel dubbio, preferite queste annotazioni!

Dimostrazione di correttezza al 100%

Il validatore verifica la proprietà di chiusura in senso matematico. Ovvero, per ogni sequenza di sincronizzazione di un singolo processo che si verifichi almeno una volta nel kernel, il validatore dimostrerà con una certezza del 100% che nessuna combinazione e tempistica di queste sequenze possa causare uno stallo in una qualsiasi classe di blocco. [1]

In pratica, per dimostrare l’esistenza di uno stallo non servono complessi scenari di sincronizzazione multi-processore e multi-processo. Il validatore può dimostrare la correttezza basandosi sulla sola sequenza di sincronizzazione apparsa almeno una volta (in qualunque momento, in qualunque processo o contesto). Uno scenario complesso che avrebbe bisogno di 3 processori e una sfortunata presenza di processi, interruzioni, e pessimo tempismo, può essere riprodotto su un sistema a singolo processore.

Questo riduce drasticamente la complessità del controllo di qualità della sincronizzazione nel kernel: quello che deve essere fatto è di innescare nel kernel quante più possibili “semplici” sequenze di sincronizzazione, almeno una volta, allo scopo di dimostrarne la correttezza. Questo al posto di innescare una verifica per ogni possibile combinazione di sincronizzazione fra processori, e differenti scenari con hardirq e softirq e annidamenti vari (nella pratica, impossibile da fare)

[1]

assumendo che il validatore sia corretto al 100%, e che nessun altra parte del sistema possa corromperne lo stato. Assumiamo anche che tutti i percorsi MNI/SMM [potrebbero interrompere anche percorsi dove le interruzioni sono disabilitate] sono corretti e non interferiscono con il validatore. Inoltre, assumiamo che un hash a 64-bit sia unico per ogni sequenza di sincronizzazione nel sistema. Infine, la ricorsione dei blocchi non deve essere maggiore di 20.

Prestazione

Le regole sopracitate hanno bisogno di una quantità enorme di verifiche durante l’esecuzione. Il sistema sarebbe diventato praticamente inutilizzabile per la sua lentezza se le avessimo fatte davvero per ogni blocco trattenuto e per ogni abilitazione delle interruzioni. La complessità della verifica è O(N^2), quindi avremmo dovuto fare decine di migliaia di verifiche per ogni evento, il tutto per poche centinaia di classi.

Il problema è stato risolto facendo una singola verifica per ogni ‘scenario di sincronizzazione’ (una sequenza unica di blocchi trattenuti uno dopo l’altro). Per farlo, viene mantenuta una pila dei blocchi trattenuti, e viene calcolato un hash a 64-bit unico per ogni sequenza. Quando la sequenza viene verificata per la prima volta, l’hash viene inserito in una tabella hash. La tabella potrà essere verificata senza bisogno di blocchi. Se la sequenza dovesse ripetersi, la tabella ci dirà che non è necessario verificarla nuovamente.

Risoluzione dei problemi

Il massimo numero di classi di blocco che il validatore può tracciare è: MAX_LOCKDEP_KEYS. Oltrepassare questo limite indurrà lokdep a generare il seguente avviso:

(DEBUG_LOCKS_WARN_ON(id >= MAX_LOCKDEP_KEYS))

Di base questo valore è 8191, e un classico sistema da ufficio ha meno di 1000 classi, dunque questo avviso è solitamente la conseguenza di un problema di perdita delle classi di blocco o d’inizializzazione dei blocchi. Di seguito una descrizione dei due problemi:

1. caricare e rimuovere continuamente i moduli mentre il validatore è in esecuzione porterà ad una perdita di classi di blocco. Il problema è che ogni caricamento crea un nuovo insieme di classi di blocco per tutti i blocchi di quel modulo. Tuttavia, la rimozione del modulo non rimuove le vecchie classi (vedi dopo perché non le riusiamo). Dunque, il continuo caricamento e rimozione di un modulo non fa altro che aumentare il contatore di classi fino a raggiungere, eventualmente, il limite.

2. Usare array con un gran numero di blocchi che non vengono esplicitamente inizializzati. Per esempio, una tabella hash con 8192 bucket dove ognuno ha il proprio spinlock_t consumerà 8192 classi di blocco a meno che non vengano esplicitamente inizializzati in esecuzione usando spin_lock_init() invece dell’inizializzazione durante la compilazione con __SPIN_LOCK_UNLOCKED(). Sbagliare questa inizializzazione garantisce un esaurimento di classi di blocco. Viceversa, un ciclo che invoca spin_lock_init() su tutti i blocchi li mapperebbe tutti alla stessa classe di blocco.

   La morale della favola è che dovete sempre inizializzare esplicitamente i vostri blocchi.

Qualcuno potrebbe argomentare che il validatore debba permettere il riuso di classi di blocco. Tuttavia, se siete tentati dall’argomento, prima revisionate il codice e pensate alla modifiche necessarie, e tenendo a mente che le classi di blocco da rimuovere probabilmente sono legate al grafo delle dipendenze. Più facile a dirsi che a farsi.

Ovviamente, se non esaurite le classi di blocco, la prossima cosa da fare è quella di trovare le classi non funzionanti. Per prima cosa, il seguente comando ritorna il numero di classi attualmente in uso assieme al valore massimo:

grep "lock-classes" /proc/lockdep_stats

Questo comando produce il seguente messaggio:

lock-classes:                          748 [max: 8191]

Se il numero di assegnazioni (748 qui sopra) aumenta continuamente nel tempo, allora c’è probabilmente un problema da qualche parte. Il seguente comando può essere utilizzato per identificare le classi di blocchi problematiche:

grep "BD" /proc/lockdep

Eseguite il comando e salvatene l’output, quindi confrontatelo con l’output di un’esecuzione successiva per identificare eventuali problemi. Questo stesso output può anche aiutarti a trovare situazioni in cui l’inizializzazione del blocco è stata omessa.

Lettura ricorsiva dei blocchi

Il resto di questo documento vuole dimostrare che certi cicli equivalgono ad una possibilità di stallo.

Ci sono tre tipi di bloccatori: gli scrittori (bloccatori esclusivi, come spin_lock() o write_lock()), lettori non ricorsivi (bloccatori condivisi, come down_read()), e lettori ricorsivi (bloccatori condivisi ricorsivi, come rcu_read_lock()). D’ora in poi, per questi tipi di bloccatori, useremo la seguente notazione:

W o E: per gli scrittori (bloccatori esclusivi) (W dall’inglese per

Writer, ed E per Exclusive).

r: per i lettori non ricorsivi (r dall’inglese per reader).

R: per i lettori ricorsivi (R dall’inglese per Reader).

S: per qualsiasi lettore (non ricorsivi + ricorsivi), dato che entrambe

sono bloccatori condivisi (S dall’inglese per Shared).

N: per gli scrittori ed i lettori non ricorsivi, dato che entrambe sono

non ricorsivi.

Ovviamente, N equivale a “r o W” ed S a “r o R”.

Come suggerisce il nome, i lettori ricorsivi sono dei bloccatori a cui è permesso di acquisire la stessa istanza di blocco anche all’interno della sezione critica di un altro lettore. In altre parole, permette di annidare la stessa istanza di blocco nelle sezioni critiche dei lettori.

Dall’altro canto, lo stesso comportamento indurrebbe un lettore non ricorsivo ad auto infliggersi uno stallo.

La differenza fra questi due tipi di lettori esiste perché: quelli ricorsivi vengono bloccati solo dal trattenimento di un blocco di scrittura, mentre quelli non ricorsivi possono essere bloccati dall’attesa di un blocco di scrittura. Consideriamo il seguente esempio:

TASK A:            TASK B:

read_lock(X);
                   write_lock(X);
read_lock_2(X);

L’attività A acquisisce il blocco di lettura X (non importa se di tipo ricorsivo o meno) usando read_lock(). Quando l’attività B tenterà di acquisire il blocco X, si fermerà e rimarrà in attesa che venga rilasciato. Ora se read_lock_2() è un tipo lettore ricorsivo, l’attività A continuerà perché gli scrittori in attesa non possono bloccare lettori ricorsivi, e non avremo alcuno stallo. Tuttavia, se read_lock_2() è un lettore non ricorsivo, allora verrà bloccato dall’attività B e si causerà uno stallo.

Condizioni bloccanti per lettori/scrittori su uno stesso blocco

Essenzialmente ci sono quattro condizioni bloccanti:

1. Uno scrittore blocca un altro scrittore.

2. Un lettore blocca uno scrittore.

3. Uno scrittore blocca sia i lettori ricorsivi che non ricorsivi.

4. Un lettore (ricorsivo o meno) non blocca altri lettori ricorsivi ma potrebbe bloccare quelli non ricorsivi (perché potrebbero esistere degli scrittori in attesa).

Di seguito le tabella delle condizioni bloccanti, Y (Yes) significa che il tipo in riga blocca quello in colonna, mentre N l’opposto.

	W	r	R
W	Y	Y	Y
r	Y	Y	N
R	Y	Y	N

(W: scrittori, r: lettori non ricorsivi, R: lettori ricorsivi)

Al contrario dei blocchi per lettori non ricorsivi, quelli ricorsivi vengono trattenuti da chi trattiene il blocco di scrittura piuttosto che da chi ne attende il rilascio. Per esempio:

TASK A:                 TASK B:

read_lock(X);

                        write_lock(X);

read_lock(X);

non produce uno stallo per i lettori ricorsivi, in quanto il processo B rimane in attesta del blocco X, mentre il secondo read_lock() non ha bisogno di aspettare perché si tratta di un lettore ricorsivo. Tuttavia, se read_lock() fosse un lettore non ricorsivo, questo codice produrrebbe uno stallo.

Da notare che in funzione dell’operazione di blocco usate per l’acquisizione (in particolare il valore del parametro ‘read’ in lock_acquire()), un blocco può essere di scrittura (blocco esclusivo), di lettura non ricorsivo (blocco condiviso e non ricorsivo), o di lettura ricorsivo (blocco condiviso e ricorsivo). In altre parole, per un’istanza di blocco esistono tre tipi di acquisizione che dipendono dalla funzione di acquisizione usata: esclusiva, di lettura non ricorsiva, e di lettura ricorsiva.

In breve, chiamiamo “non ricorsivi” blocchi di scrittura e quelli di lettura non ricorsiva, mentre “ricorsivi” i blocchi di lettura ricorsivi.

I blocchi ricorsivi non si bloccano a vicenda, mentre quelli non ricorsivi sì (anche in lettura). Un blocco di lettura non ricorsivi può bloccare uno ricorsivo, e viceversa.

Il seguente esempio mostra uno stallo con blocchi ricorsivi:

TASK A:                 TASK B:

read_lock(X);
                        read_lock(Y);
write_lock(Y);
                        write_lock(X);

Il processo A attende che il processo B esegua read_unlock() so Y, mentre il processo B attende che A esegua read_unlock() su X.

Tipi di dipendenze e percorsi forti

Le dipendenze fra blocchi tracciano l’ordine con cui una coppia di blocchi viene acquisita, e perché vi sono 3 tipi di bloccatori, allora avremo 9 tipi di dipendenze. Tuttavia, vi mostreremo che 4 sono sufficienti per individuare gli stalli.

Per ogni dipendenza fra blocchi avremo:

L1 -> L2

Questo significa che lockdep ha visto acquisire L1 prima di L2 nello stesso contesto di esecuzione. Per quanto riguarda l’individuazione degli stalli, ci interessa sapere se possiamo rimanere bloccati da L2 mentre L1 viene trattenuto. In altre parole, vogliamo sapere se esiste un bloccatore L3 che viene bloccato da L1 e un L2 che viene bloccato da L3. Dunque, siamo interessati a (1) quello che L1 blocca e (2) quello che blocca L2. Di conseguenza, possiamo combinare lettori ricorsivi e non per L1 (perché bloccano gli stessi tipi) e possiamo combinare scrittori e lettori non ricorsivi per L2 (perché vengono bloccati dagli stessi tipi).

Con questa semplificazione, possiamo dedurre che ci sono 4 tipi di rami nel grafo delle dipendenze di lockdep:

1. -(ER)->:

   dipendenza da scrittore esclusivo a lettore ricorsivo. “X -(ER)-> Y” significa X -> Y, dove X è uno scrittore e Y un lettore ricorsivo.

2. -(EN)->:

   dipendenza da scrittore esclusivo a bloccatore non ricorsivo. “X -(EN)->” significa X-> Y, dove X è uno scrittore e Y può essere o uno scrittore o un lettore non ricorsivo.

3. -(SR)->:

   dipendenza da lettore condiviso a lettore ricorsivo. “X -(SR)->” significa X -> Y, dove X è un lettore (ricorsivo o meno) e Y è un lettore ricorsivo.

4. -(SN)->:

   dipendenza da lettore condiviso a bloccatore non ricorsivo. “X -(SN)-> Y” significa X -> Y , dove X è un lettore (ricorsivo o meno) e Y può essere o uno scrittore o un lettore non ricorsivo.

Da notare che presi due blocchi, questi potrebbero avere più dipendenza fra di loro. Per esempio:

TASK A:

read_lock(X);
write_lock(Y);
...

TASK B:

write_lock(X);
write_lock(Y);

Nel grafo delle dipendenze avremo sia X -(SN)-> Y che X -(EN)-> Y.

Usiamo -(xN)-> per rappresentare i rami sia per -(EN)-> che -(SN)->, allo stesso modo -(Ex)->, -(xR)-> e -(Sx)->

Un “percorso” in un grafo è una serie di nodi e degli archi che li congiungono. Definiamo un percorso “forte”, come il percorso che non ha archi (dipendenze) di tipo -(xR)-> e -(Sx)->. In altre parole, un percorso “forte” è un percorso da un blocco ad un altro attraverso le varie dipendenze, e se sul percorso abbiamo X -> Y -> Z (dove X, Y, e Z sono blocchi), e da X a Y si ha una dipendenza -(SR)-> o -(ER)->, allora fra Y e Z non deve esserci una dipendenza -(SN)-> o -(SR)->.

Nella prossima sezione vedremo perché definiamo questo percorso “forte”.

Identificazione di stalli da lettura ricorsiva

Ora vogliamo dimostrare altre due cose:

Lemma 1:

Se esiste un percorso chiuso forte (ciclo forte), allora esiste anche una combinazione di sequenze di blocchi che causa uno stallo. In altre parole, l’esistenza di un ciclo forte è sufficiente alla scoperta di uno stallo.

Lemma 2:

Se non esiste un percorso chiuso forte (ciclo forte), allora non esiste una combinazione di sequenze di blocchi che causino uno stallo. In altre parole, i cicli forti sono necessari alla rilevazione degli stallo.

Con questi due lemmi possiamo facilmente affermare che un percorso chiuso forte è sia sufficiente che necessario per avere gli stalli, dunque averli equivale alla possibilità di imbattersi concretamente in uno stallo. Un percorso chiuso forte significa che può causare stalli, per questo lo definiamo “forte”, ma ci sono anche cicli di dipendenze che non causeranno stalli.

Dimostrazione di sufficienza (lemma 1):

Immaginiamo d’avere un ciclo forte:

L1 -> L2 ... -> Ln -> L1

Questo significa che abbiamo le seguenti dipendenze:

L1   -> L2
L2   -> L3
...
Ln-1 -> Ln
Ln   -> L1

Ora possiamo costruire una combinazione di sequenze di blocchi che causano lo stallo.

Per prima cosa facciamo sì che un processo/processore prenda L1 in L1 -> L2, poi un altro prende L2 in L2 -> L3, e così via. Alla fine, tutti i Lx in Lx -> Lx+1 saranno trattenuti da processi/processori diversi.

Poi visto che abbiamo L1 -> L2, chi trattiene L1 vorrà acquisire L2 in L1 -> L2, ma prima dovrà attendere che venga rilasciato da chi lo trattiene. Questo perché L2 è già trattenuto da un altro processo/processore, ed in più L1 -> L2 e L2 -> L3 non sono -(xR)-> né -(Sx)-> (la definizione di forte). Questo significa che L2 in L1 -> L2 non è un bloccatore non ricorsivo (bloccabile da chiunque), e L2 in L2 -> L3 non è uno scrittore (che blocca chiunque).

In aggiunta, possiamo trarre una simile conclusione per chi sta trattenendo L2: deve aspettare che L3 venga rilasciato, e così via. Ora possiamo dimostrare che chi trattiene Lx deve aspettare che Lx+1 venga rilasciato. Notiamo che Ln+1 è L1, dunque si è creato un ciclo dal quale non possiamo uscire, quindi si ha uno stallo.

Dimostrazione della necessità (lemma 2):

Questo lemma equivale a dire che: se siamo in uno scenario di stallo, allora deve esiste un ciclo forte nel grafo delle dipendenze.

Secondo Wikipedia[1], se c’è uno stallo, allora deve esserci un ciclo di attese, ovvero ci sono N processi/processori dove P1 aspetta un blocco trattenuto da P2, e P2 ne aspetta uno trattenuto da P3, ... e Pn attende che il blocco P1 venga rilasciato. Chiamiamo Lx il blocco che attende Px, quindi P1 aspetta L1 e trattiene Ln. Quindi avremo Ln -> L1 nel grafo delle dipendenze. Similarmente, nel grafo delle dipendenze avremo L1 -> L2, L2 -> L3, ..., Ln-1 -> Ln, il che significa che abbiamo un ciclo:

Ln -> L1 -> L2 -> ... -> Ln

, ed ora dimostriamo d’avere un ciclo forte.

Per un blocco Lx, il processo Px contribuisce alla dipendenza Lx-1 -> Lx e Px+1 contribuisce a quella Lx -> Lx+1. Visto che Px aspetta che Px+1 rilasci Lx, sarà impossibile che Lx in Px+1 sia un lettore e che Lx in Px sia un lettore ricorsivo. Questo perché i lettori (ricorsivi o meno) non bloccano lettori ricorsivi. Dunque, Lx-1 -> Lx e Lx -> Lx+1 non possono essere una coppia di -(xR)-> -(Sx)->. Questo è vero per ogni ciclo, dunque, questo è un ciclo forte.

Riferimenti

[1]: https://it.wikipedia.org/wiki/Stallo_(informatica)

[2]: Shibu, K. (2009). Intro To Embedded Systems (1st ed.). Tata McGraw-Hill